Интегралы движения, циклические координаты и метод Рауса (сферический маятник) | ESM 5314 L23

Постоянная движения — это функция, которая остается неизменной по мере эволюции системы — геометрически, она ограничивает траектории поверхностями меньшей размерности, подобно слоям луковицы. В этой лекции рассматриваются два типа таких постоянных. Постоянная энергетического типа — это интеграл Якоби (постоянная Якоби): величина с единицами измерения энергии, которая равна полной энергии только для «естественных» систем, и чьи множества уровней непосредственно воспроизводят фазовый портрет. Мы проработаем её на примере центробежного (шарового) регулятора Джеймса Уатта, классического механического устройства обратной связи, найдя критическую скорость вращения вала, при которой появляются новые состояния равновесия. Постоянная импульсного типа возникает, когда лагранжиан не зависит от координаты: эта координата «пренебрегаема» (циклическая), её сопряженный импульс сохраняется, и процедура Раута использует это для строгого уменьшения порядка системы. Таким образом мы выводим уравнения сферического маятника, сводя две степени свободы к одной. Это лекция 23 из курса «Лагранжева механика и динамика твердых тел», полного курса из 29 лекций по аналитической динамике (ньютоновско-эйлерова, лагранжева и трехмерная динамика твердых тел). Материал соответствует работам Касдина и Пэли, а также Гринвуда. ▶️ Разделы 0:00 Постоянные (интегралы) движения 2:55 Поверхности уровня: слои луковицы 5:12 Интеграл Якоби (постоянная Якоби) 7:08 Определение h и когда она сохраняется 11:21 Упрощенный способ: группировка кинетической энергии по порядку скорости 14:33 Когда интеграл Якоби равен полной энергии 16:08 Центробежный (летающий шар) регулятор 18:49 История: Гюйгенс, Джеймс Уатт и Уатт 20:48 Моделирование регулятора: кинематика 24:51 Кинетическая и потенциальная энергия летающих шаров 27:07 Лагранжиан и уравнение движения 29:27 Нахождение точек равновесия в зависимости от параметров 32:24 Критическая скорость: появляются новые точки равновесия 35:48 Регулятор работает только выше критической скорости 36:42 Множества уровней Якоби и фаза портрет 40:43 Эффективный потенциал ниже критической скорости 42:24 Выше критической скорости: W-образный потенциал 45:00 Лук и русские матрешки: многомерные множества уровней 47:31 Постоянные импульса и пренебрегаемые координаты 49:33 Сферический маятник 53:01 Лагранжиан: φ пренебрегаемо 54:57 Сохранение импульса в направлении φ 59:23 Процедура Раута и рутиан 1:01:51 Уравнение Раута для редуцированной динамики 1:05:46 Эффективный потенциал для тета-ритма 1:08:51 Точки поворота и периодическое движение в тета-ритме 1:13:38 Моделирование сферического маятника 📘 Что вы узнаете – Что такое постоянная (интеграл) движения и как она расслаивает фазовое пространство на поверхности – Интеграл Якоби и почему он не всегда равен полной энергии – Как читать Фазовый портрет непосредственно из множеств уровней постоянной Якоби – Что такое игнорируемая (циклическая) координата и почему сохраняется ее сопряженный импульс – Как процедура Раута уменьшает порядок системы, примененная к сферическому маятнику 🎓 Курс: Лагранжева механика и динамика твердого тела (ESM 5314) 🔗 Плейлист: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUeHTafWecAUl2DuWWdRU1MckJv7M5LEH 📄 Конспекты лекций (PDF): https://drive.google.com/drive/folders/1-8ZGvfZTw7TxjSQmG3-JFShnvt6mCURk 📖 Учебники Н. Джереми Касдин и Дерек А. Пэли, Инженерная динамика: всестороннее введение (Принстонский университет) (Издательство) https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691135373/engineering-dynamics Д. Т. Гринвуд, «Продвинутая динамика» (Cambridge University Press) Учебный план: https://drive.google.com/file/d/1huVAORLVgahQHARAFYus9j6KDjNhwymX/view 👨🏫 Доктор Шейн Росс — профессор аэрокосмической и океанотехники, Вирджинский технологический университет (доктор философии Калтеха) 🔬 Исследования: https://ross.aoe.vt.edu 🔔 Подписаться: https://www.youtube.com/user/RossDynamicsLab?sub_confirmation=1 ▶️ Предыдущая — Неголономные ограничения и метод Лагранжа Объяснение множителей (лекция 22): https://www.youtube.com/watch?v=whWBYOJWmm4 ▶️ Далее — Хаотическая динамика, циклические координаты и метод Рута (лекция 24): https://www.youtube.com/watch?v=ArKZtNYPJaA 🔗 Связанные полные лекционные курсы Нелинейная динамика и хаос: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUeHTafWecAUqSh3Gy0NNr7H3OsXoC-aK Гамильтонова динамика: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUeHTafWecAVCauQ541UBrfGqHQwuHq_2 Теория локальной бифуркации: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUeHTafWecAVblNx278wBxkIQXw7iJws3 Задача трёх тел: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUeHTafWecAXDF9vWi7PuE2ZQQ2hXyYt_ Динамика и управление ориентацией: https://www.youtube.com/playlist?list=PLUeHTafWecAXDFDYEwunLL2V2kwqKzkvJ Запись сделана 10 ноября 2020 г. (осень 2020 г.), Вирджинский политехнический университет. #КонстантыДвижения #ИнтегралЯкоби #ПроцедураРута #ПренебрегаемыеКоординаты #СферическийМаятник #ГазомоторФлайбола #Лагранжиан #МоделированиеПониженногоПорядка #Классиче...