Начала Евклида — Книга 5: Определения 5 и 6

Определение 5. Главы чисел называются пропорциональными (НЕ одинаковыми!), если первое пропорционально второму, а третье пропорционально четвёртому, когда равные кратные первого и третьего либо оба превышают, либо оба равны, либо оба меньше равных кратных второго и четвёртого соответственно, взятых в соответствующем порядке, согласно любому виду умножения. Если отношения равны p:q и r:s, то отношения пропорциональны, если p относится к q так же, как r относится к s. Заметим, что нахождение в одном и том же отношении не означает, что предшествующее отношение (p:q) равно последующему отношению (r:s). Определение 5 — это прототип дроби в терминах величин, а не чисел. Например, мы можем выбрать отношение u:u в качестве единичного отношения, а затем назвать любое кратное через это единичное отношение. Это легко понять, используя реальные числа: Если p и q кратны u, как показано на графике выше, то p:u :: q:u — это дробь p/q. То есть, величина p:u :: q:u равна числу p/q. Мы опускаем единичную величину, поскольку и p, и q являются её кратными. Книга 5 закладывает основы арифметики, которые переносятся в алгебру в виде чисел через абстрактную единицу, размер которой не имеет значения. Определение 6. Четыре величины, имеющие это отношение, называются пропорциональными. И пусть величины, находящиеся в пропорции, называются пропорциональными. На всякий случай, если у вас были какие-либо сомнения относительно того, что может подразумевать определение 5, учитывая «одинаковые отношения» (неправильный перевод!), определение 6 говорит вам, что они должны называться пропорциональными. Обратите внимание, что там ничего не говорится о том, что они «равны» или «одинаковы» отношения. Перевод Хита явно неверен: И пусть величины, имеющие одинаковое соотношение, называются пропорциональными. Очевидно, что Хит не понял сути определения. Выражение «одинаковое соотношение» нигде не встречается в определении 6! Если бы определение 6 действительно подразумевало одинаковое соотношение, то в этом не было бы необходимости, поскольку это подразумевается определением 5, но Евклид хотел уточнить, что соотношения равны ТОЛЬКО ЕСЛИ их аликвотные части равны. Например, соотношения p : q и r : s равны, если p = r и q = s. Наличие пропорции друг к другу НЕ обязательно означает их равенство. Пропорция НЕОБХОДИМА для равенства, но НЕДОСТАТОЧНА.